Zpět na přehled
Pythagorova věta
Matematika
1. stupeň ZŠ (1.–5. třída)
Petr
04.11.2026
Hodina seznámí žáky s pravoúhlým trojúhelníkem a s Pythagorovou větou, která říká, jak spolu souvisejí délky jeho stran. Pomocí čtverečkovaného papíru, plochy čtverců a mnoha konkrétních příkladů si žáci ověří, že součet ploch dvou menších čtverců se rovná ploše většího čtverce. Vztah je zapsán jako $a^2 + b^2 = c^2$ a žáci se naučí jej používat k výpočtu chybějící strany. Téma je pro 1. stupeň náročné, proto je výklad založen na obrázcích, pokusech a opakovaném procvičování.
Osnova hodiny
1. Rozcvička: rohy a pravé úhly (5 minut)
- Ukážeme rohy předmětů ve třídě (dveře, okno, sešit, tabule) a žáci je pojmenovávají.
- Vysvětlíme pravý úhel: roh, který vypadá jako písmeno L nebo roh čtverce či obdélníku.
- Příklad: roh stolu je pravý úhel, roh pizzy obvykle není.
- Žáci hledají pravé úhly v okolí a ukazují je rukou ve tvaru L.
- Kontrola pomocí papírového rohu (ohnutý list papíru ve tvaru pravého úhlu).
2. Pravoúhlý trojúhelník (10 minut)
- Nakreslíme trojúhelník s jedním pravým úhlem na tabuli a na čtverečkovaný papír.
- Pojmenujeme strany: dvě kratší strany u pravého úhlu se nazývají odvěsny (označíme a, b).
- Nejdelší strana leží naproti pravému úhlu a nazývá se přepona (označíme c).
- Příklad 1: trojúhelník s odvěsnami 3 cm a 4 cm; přepona je nejdelší strana.
- Příklad 2: otočení trojúhelníku – žáci zjistí, že přepona je vždy protilehlá k pravému úhlu, i když je trojúhelník natočen jinak.
- Cvičení: žáci u pěti nakreslených trojúhelníků zakroužkují pravý úhel a podtrhnou přeponu.
3. Čtverečky na papíře: objevujeme vztah (15 minut)
- Každý žák nakreslí pravoúhlý trojúhelník s odvěsnami 3 čtverečky a 4 čtverečky.
- K odvěsnám nakreslíme čtverce: na delší stranu 3 × 3 čtverečky, na kratší 4 × 4 čtverečky.
- Počítáme čtverečky: $3 \times 3 = 9$ a $4 \times 4 = 16$.
- Na přeponu nakreslíme čtverec a spočítáme jeho čtverečky: 25.
- Zapisujeme: $9 + 16 = 25$, tedy $3^2 + 4^2 = 5^2$.
- Příklad 2: odvěsny 6 a 8 čtverečků; čtverce mají $36$ a $64$ čtverečků, přepona $100$ čtverečků, tedy $6^2 + 8^2 = 10^2$.
- Příklad 3: odvěsny 5 a 12; čtverce $25$ a $144$, součet $169 = 13^2$.
- Závěr: součet ploch čtverců nad odvěsnami se rovná ploše čtverce nad přeponou.
4. Pythagorova věta – zápis a slovní vyjádření (5 minut)
- Představíme vzorec: $$a^2 + b^2 = c^2$$
- Vysvětlíme zápis: $a^2$ znamená $a \times a$ (tzv. druhá mocnina, tedy obsah čtverce se stranou $a$).
- Příklad: $3^2 = 3 \times 3 = 9$, $5^2 = 5 \times 5 = 25$.
- Slovně: Když sečteme čtverce obou odvěsen, dostaneme čtverec přepony.
- Upozornění: vzorec platí jen pro pravoúhlý trojúhelník, přepona je vždy c.
5. Výpočet přepony (10 minut)
- Postup: nejdřív spočítáme čtverce odvěsen, pak je sečteme, nakonec najdeme odmocninu.
- Příklad 1: $a = 3$, $b = 4$. Výpočet: $3^2 + 4^2 = 9 + 16 = 25$, $c = \sqrt{25} = 5$.
- Příklad 2: $a = 6$, $b = 8$. Výpočet: $36 + 64 = 100$, $c = \sqrt{100} = 10$.
- Příklad 3: $a = 1$, $b = 1$. Výpočet: $1 + 1 = 2$, $c = \sqrt{2} \approx 1{,}41$ (vysvětlíme, že to není celé číslo).
- Příklad 4: $a = 5$, $b = 12$. Výpočet: $25 + 144 = 169$, $c = 13$.
- Vysvětlení odmocniny: $\sqrt{25} = 5$, protože $5 \times 5 = 25$.
- Žáci si sami vyberou čtyři dvojice odvěsen z tabulky a počítají přeponu.
6. Výpočet odvěsny (10 minut)
- Vzorec upravíme: $a^2 = c^2 - b^2$, tedy $a = \sqrt{c^2 - b^2}$.
- Příklad 1: přepona $c = 5$, odvěsna $b = 3$. Výpočet: $25 - 9 = 16$, $a = \sqrt{16} = 4$.
- Příklad 2: přepona $c = 13$, odvěsna $b = 5$. Výpočet: $169 - 25 = 144$, $a = 12$.
- Příklad 3: přepona $c = 10$, odvěsna $b = 6$. Výpočet: $100 - 36 = 64$, $a = 8$.
- Zdůrazníme: přepona je vždy největší, takže od ní odčítáme, ne přičítáme.
- Žáci si ověří výsledky nakreslením a přeměřením pravítkem.
7. Hraní a procvičování ve dvojicích (10 minut)
- Hra „Hledej trojici“: žáci dostanou kartičky s čísly a hledají trojice, které tvoří pythagorejskou trojici (3, 4, 5; 6, 8, 10; 5, 12, 13; 8, 15, 17).
- Kontrola: žáci zapíší $3^2 + 4^2 = 5^2$ a ověří správnost.
- Kartičky s nesprávnou trojicí (např. 2, 3, 4): žáci zjistí, že $4 + 9 \neq 16$, tedy nejde o pravoúhlý trojúhelník.
- Dvojice si navzájem zadávají úlohy: jeden dá dvě odvěsny, druhý počítá přeponu.
8. Praktické příklady ze života (10 minut)
- Příklad 1 (žebřík): žebřík je opřený o zeď. Dolní konec je 3 m od zdi, horní konec je 4 m nad zemí. Jak dlouhý je žebřík? Řešení: $3^2 + 4^2 = 25$, $c = 5$ m.
- Příklad 2 (hřiště): dítě jde 3 metry na východ a pak 4 metry na sever. Jak daleko je od výchozího místa? Řešení: $c = 5$ m.
- Příklad 3 (obrazovka): televizor s úhlopříčkou (přepona) 5 palců a výškou 3 palce. Jaká je šířka? Řešení: $a = \sqrt{25 - 9} = 4$ palce.
- Příklad 4 (zkratka): pes běží z rohu hřiště do protějšího rohu přes diagonálu o stranách 6 m a 8 m. Délka: $c = 10$ m.
- Diskuse: proč je kratší cesta přes úhlopříčku než po stranách? (3 + 4 = 7 metrů, přes úhlopříčku 5 metrů).